数学の未解決問題とは、まだ誰も証明したり、反証したりできていない問題のことです。数世紀にわたって多くの数学者が挑み続けていますが、いまだに解明されていません。
ミレニアム懸賞問題
2000年にアメリカのクレイ数学研究所が、特に重要な7つの未解決問題を選び、それぞれに100万ドル（約1億5000万円）の懸賞金をかけました。これを「ミレニアム懸賞問題」と呼びます。7つのうち、2003年にロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンによって「ポアンカレ予想」が解決されましたが、彼は賞金を辞退しました。現在も残る6つの問題の中から、代表的なものをいくつか紹介します。
リーマン予想
リーマン予想は、素数の分布に関する問題です。素数（2, 3, 5, 7, 11…）が、数の大きさに従ってどのように現れるかを予測するもので、「ゼータ関数」という数式と深く関わっています。この予想が正しいと証明されれば、素数に関する多くの未解明な性質が明らかになり、現代の暗号技術にも大きな影響を与える可能性があります。
P対NP問題
P対NP問題は、コンピュータの計算の速さに関する問題です。簡単に言うと、「答えを見つけるのが大変な問題でも、その答えが正しいかどうかを素早く確かめることができれば、その問題は最初から素早く解くことができるのか？」という問いです。 多くのコンピュータ科学者は「いいえ」（P≠NP）と考えていますが、もし「はい」（P=NP）だと証明されれば、現在の暗号技術はすべて破られてしまうことになります。
ホッジ予想
ホッジ予想は、幾何学の分野における問題です。非常に複雑な問題ですが、簡単に言うと、ある種の図形を簡単な「ブロック」で組み立てられるかを問うものです。この予想は、幾何学と代数学という、一見異なる分野を結びつける重要な役割を担っています。